Question

已知橢圓C：其左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是坐標平面內一點，且|OP|=（O為坐標原點）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點：若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1） 
（2）在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標為（0，1）。

試題分析：（1）設

因此所求橢圓的方程為：    5分
（2）動直線l的方程為：，


     10分
由假設得對于任意的恒成立，
即
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標為（0，1）。   13分
（以上答案僅供參考，其它解法酌情賦分）
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用向量垂直，數量積為0，確定得到m的方程。