Question

東海水晶制品廠去年的年產量為10萬件,每件水晶產品的銷售價格為100元,固定成本為80元.從今年起,工廠投入100萬元科技成本,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預計產量每年遞增1萬件,每件水晶產品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數n的關系是g(n)=.若水晶產品的銷售價格不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.
(1)求出f(n)的表達式.
(2)求從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

Answer 1

(1) f(n)=(10+n)(100-)-100n(n∈N^*)
(2) 從今年算起第8年利潤最高,最高利潤為520萬元

(1)第n次投入后,產量為(10+n)萬件,銷售價格為100元,固定成本為元,科技成本投入為100n萬元.
所以,年利潤為f(n)=(10+n)(100-)-100n(n∈N^*).
(2)由(1)知f(n)=(10+n)(100-)-100n
=1000-80(+)≤520(萬元).
當且僅當=,
即n=8時,利潤最高,最高利潤為520萬元.
所以,從今年算起第8年利潤最高,最高利潤為520萬元.