Question

若對函數y=f（x）定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數為“K函數”，給出下列三個命題：
①y=x^-2是“K函數”；
②y=2^x是“K函數”；
③y=lnx是“K函數”，
其中正確命題的序號是

②

．

Answer 1

分析：對于函數y=x^-2，由R函數的定義得f（x₁）f（x₂）=1即x12x22=1，對應的x₁、x₂不唯一，故y=x^-2不是K函數，得①不正確；對于函數y=2^x，若f（x₁）f（x₂）=1得2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，所以x₂=-x₁，可得x₂存在且唯一得函數y=2^x是K函數，故②正確；對于③，因為函數y=lnx有零點，可得當x₁=1時，不存在x₂滿足f（x₁）f（x₂）=1成立，故函數y=lnx不是K函數，所以③不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，函數y=x^-2，由f（x₁）f（x₂）=1，得

1

x12

•

1

x22

=1，即x12x22=1，
對應的x₁、x₂不唯一，所以y=x^-2不是K函數，得①不正確．
對于②，函數y=2^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得2x1•2x2=2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂滿足條件，故函數y=2^x是K函數，得②正確．
對于③，因為函數y=lnx有零點，即當x₁=1時，y=lnx₁=0，
所以當x₁=1時，不存在x₂滿足f（x₁）f（x₂）=1成立，所以函數y=lnx不是K函數，故③不正確．
綜上所述，正確命題的序號是②．
故答案為：②

點評：本題給出R函數的定義，要我們驗證幾個函數是否為R函數．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、命題真假的判斷與應用等知識，屬于中檔題．