Question

若函數y=f（x）對任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，恒有f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；               
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入已知式并整理，可得f（0）=0．在已知等式中取y=-x，化簡整理可得f（-x）=-f（x），從而得到函數f（x）是奇函數；
（2）用-y代替y，結合函數為奇函數證出f（x-y）=f（x）-f（y）．由此證出當x₁＜x₂時，f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，從而得到函數f（x）在R上是單調減函數；
（3）求出f（8）=4，-[f（-x²）+2f（x）]=f（x²-2x），從而將原不等式轉化成f（8）＜f（x²-2x），然后根據函數的單調性得到關于x的一元二次不等式，解之即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）令x=y=0，可知f（0+0）=f（0）+f（0），解之得f（0）=0，
∴0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），移項得f（-x）=-f（x）
所以函數f（x）是奇函數；
（2）根據題意，得f（x-y）=f（x）+f（-y），
因為函數（x）是奇函數，得f（x-y）=f（x）-f（y）
設x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，得f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）
∵當x＞0時，恒有f（x）＜0．x₁-x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，得f（x₁）＜f（x₂）
所以函數f（x）在R上是單調減函數；
（3）不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0，
即4＜-[f（-x²）+2f（x）]，也就是4＜-f（-x²+2x）
∵f（2）=1，得f（8）=f（4）+f（4）=4f（2）=4
-f（-x²+2x）=f（x²-2x），且f（x）在R上是單調減函數，
∴原不等式可化為f（8）＜f（x²-2x），得8＞x²-2x，解之得-2＜x＜4
所以原不等式的解集為（-2，4）

點評：本題給出抽象函數，要我們討論函數的奇偶性和單調性，著重考查了對抽象函數的理解、函數的基本性質和不等式的解法等知識點，屬于中檔題．