Question

在三角形ABC，已知tan

A+B

2

=sinC，下列四個論斷中正確的是（　　）
①tanA•cotB=1；   ②0＜sinA+sinB≤

2

；   ③sin²A+cos²B=1；   ④cos²A+cos²B=sin²C．

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：先利用同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式化簡整理題設等式求得cos

A+B

2

=

2

2

進而求得A+B=90°進而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，②正確；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函數(shù)的基本關系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進而根據(jù)C=90°可知sinC=1，進而可知二者相等．④正確

解答：解：∵tan

A+B

2

=sinC
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

整理求得cos

A+B

2

=

2

2

∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA
=

2

sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，
所以②正確
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A≠1，③不正確．
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正確．
故選B．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．