Question

已知函數f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在區間[1，2]上恒有意義．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）把函數f（x）在區間[1，2]上的最大值與最小值的差M表示成實數a的函數．

Answer 1

分析：（I）因為函數f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在區間[1，2]上恒有意義故?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立轉化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min然后利用二次函數的單調性判斷求最小值即可．
（Ⅱ）由于f（x）為復合函數因此要利用復合函數的單調性來判斷f（x）的單調性．由（1）知a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
因此要分0＜a＜1，1＜a＜

7

4

來討論故令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）則g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

故導函數的符號取決于2

a

-x的大小，所以要分2

a

≤1，0＜a≤

1

4

，1＜2

a

＜2，

1

4

＜a＜1，2

a

＞2即a＞1
三種情況來討論只要判斷出單調性就可求解了．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0
故 4a＜x（8-x），令h（x）=x（8-x）
∴函數在區間[1，2]上為增函數，當x=1時有最小值7，故4a＜7，由a＞0且a≠1
因此a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
（Ⅱ）令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）則g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

，，
①當2

a

≤1，0＜a≤

1

4

時g^′（x）≤0，等號成立的條件時當且僅當x=1且2

a

=1，此時g（x）是單調遞減函數所以f（x）為單調遞增函數，故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

②當1＜2

a

＜2，即

1

4

＜a＜1時，
因此當1≤x＜2

a

g^′（x）＞0，g（x）是單調遞增函數；
    當2

a

＜x≤2時，g^′（x）＜0，g（x）是單調遞減函數；
故g(x)max=g(2

a

)=8-4

a

g(x)min=

6-2a 1 4 ＜a≤ 1 2 7-4a 1 2 ＜a＜1

因此M=loga

g(x)min

g(x)max

=

loga 3-a 4-2 a loga 7-4a 8-4 a 1 2 ＜a＜ 1

1

4

＜a≤

1

2

③當2

a

＞2即a＞1時g^′（x）＞0，g（x）是單調遞增函數，所以f（x）是單調遞增函數
故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

綜上所述當0＜a≤

1

4

或1＜a＜

7

4

時M=loga

6-2a

7-4a

，當

1

4

＜a≤

1

2

時M=loga

3-a

4-2 a

，當

1

2

＜a＜1時M=loga

7-4a

8-4 a

．

點評：本題主要考查了利用導函數求閉區間上的最值．第一問考查了恒成立的問題關鍵是將恒成立的問題轉化為求最大最小值問題故將?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立轉化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min才是解題的關鍵所在．第二問主要考查了利用同增異減這一法則來判斷復合函數的單調性，而求解的關鍵是要判斷g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）的單調性即判斷g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

的符號故需對a進行討論．