Question

（2012•臺州一模）已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）上縱坐標為p的點到其焦點的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過點P（0，-2）的直線交拋物線C₁于A，B兩點，設拋物線C₁在點A，B處的切線交于點M，
（ⅰ）求點M的軌跡C₂的方程；
（ⅱ）若點Q為（ⅰ）中曲線C₂上的動點，當直線AQ，BQ，PQ的斜率k_AQ，k_BQ，k_PQ均存在時，試判斷

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

是否為常數？若是，求出這個常數；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）直線方程與拋物線方程聯立，求得k的范圍，求出拋物線在A，B處的切線方程，聯立可求點M的軌跡C₂的方程；
（ⅱ）表示出

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

，利用韋達定理，化簡可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得p+

p

2

=3，則p=2，…（3分）
所以拋物線C₁的方程為x²=4y．                   …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）設過點P（0，-2）的直線方程為y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-2 x2=4y

得x²-4kx+8=0．
由△＞0，得k＜-

2

或k＞

2

，x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．…（7分）
拋物線C₁在點A，B處的切線方程分別為y-y1=

x1

2

(x-x1)，y-y2=

x2

2

(x-x2)，
即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
由

y= x1 2 x- x 2 1 4 y= x2 2 x- x 2 2 4

得

x= x1+x2 2 =2k y= x1x2 4 =2.

所以點M的軌跡C₂的方程為y=2 (x＜-2

2

或x＞2

2

）．…（10分）
（ⅱ）設Q（m，2）（|m|＞2

2

），
則kPQ=

4

m

，kAQ=

y1-2

x1-m

，kBQ=

y2-2

x2-m

．…（11分）
所以

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

=

4

m

(

1

kAQ

+

1

kBQ

)=

4

m

(

x1-m

y1-2

+

x2-m

y2-2

)…（12分）
=

4

m

[

(x1-m)(y2-2)+(x2-m)(y1-2)

(y1-2)(y2-2)

]=

4

m

[

2kx1x2-(mk+4)(x1+x2)+8m

k2x1x2-4k(x1+x2)+16

]
=

4

m

[

16k-(mk+4)•4k+8m

8k2-4k•4k+16

]=

4

m

[

8m-4mk2

16-8k2

]=

4

m

[

4m(2-k2)

8(2-k2)

]=2，
即

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

為常數2．　                       …（15分）

點評：本題考查拋物線的定義與標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的切線方程，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．