Question

（本小題滿分13分）
設是數列（）的前項和，，且，，．
（I）證明：數列（）是常數數列；
（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列（）中的所有項都是數列中的項，并指出是數列中的第幾項．

Answer 1

（I）數列（）是常數數列
（II）若是數列中的第項，由得，取，得，是數列中的第項．

解：（I）當時，由已知得．
因為，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即數列（）是常數數列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列．
所以，，．
由題設知，．當為奇數時，為奇數，而為偶數，所以不是數列中的項，只可能是數列中的項．
若是數列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，，從而是數列中的第項．
（注：考生取滿足，的任一奇數，說明是數列中的第項即可）