Question

（本小題滿分12分）
對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[]，使在[]上的值域為[]；那么把()叫閉函數．
（1）求閉函數符合條件②的區間[]；
（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；
（3）若函數是閉函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）[-1，1]。（2）函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。（3）。

試題分析：（1）根據y=-x³的單調性，假設區間為[a，b]滿足，求a、b的值．
（2）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入驗證不滿足條件即可證明不是閉函數．
（3）根據閉函數的定義，得到a,b,k的關系式，然后轉換為方程有兩個不等的實數根來得到參數的范圍。
解：
（1）由題意，在[]上遞減，則解得
所以，所求的區間為[-1，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）
取則，
即不是上的減函數。
取，
即不是上的增函數，
所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。．．．．．．．．．．．．．4分
（3）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[]，即，為方程的兩個實根，
即方程有兩個不等的實根。
當時，有，解得。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
當時，有，無解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
綜上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
點評：解決該試題的關鍵是理解閉函數的概念，并能結合所學知識，轉換為不等式以及對應的函數關系式。