Question

設集合，如果滿足：對任意，都存在,使得，那么稱為集合的一個聚點，則在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以為聚點的集合有     
（寫出所有你認為正確的結論的序號）．

Answer 1

（2）（3）

解析試題分析：（1）對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z⁺∪Z^-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是Z⁺∪Z^-的聚點；
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=（實際上任意比a小得數都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點；
（3）集合中的元素是極限為0的數列，對于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，∴0是集合的聚點．
（4）集合中的元素是極限為1的數列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚點．
故答案為（2）（3）．
考點：新定義問題，集合元素的性質，數列的性質。
點評：中檔題，理解新定義是正確解題的關鍵之一，能正確認識集合中元素---數列的特征，是正確解題的又一關鍵。