Question

本題有（I）、（II）、（III）三個選作題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知a∈R，矩陣P=

0 2 -1 0

，Q=

0 1 a 0

，若矩陣PQ對應的變換把直線l₁：x-y+4=0變為直線l₂：x+y+4=0，求實數a的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，求圓C：ρ=2上的點P到直線l：ρ(cosθ+

3

sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實數x，y滿足x²+4y²=a（a＞0），且x+y的最大值為5，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）先計算矩陣AB對應的變換，再求出在變換下點的坐標之間的對應關系，從而可求直線l₂的方程，最后與已知方程對照可得到a值．
（2）圓p=2、直線p（cosθ+

3

sinθ）=6化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再求圓p=2上的點到直線p（cosθ+

3

sinθ）=6的距離的最小值．
（3）可設出橢圓x²+4y²=a參數方程，轉化為三角函數，利用三角函數的有界性求最值，從而得出a的值．

解答：解：（1）∵矩陣P=

0 2 -1 0

，Q=

0 1 a 0

，
∴PQ=

2a 0 0 -1

…（3分），
在直線l₁上任取一點P（x，y），經矩陣PQ變換為點Q（x′，y′），則
（x，y）

2a 0 0 -1

=（x′，y′），
即

x′=2ax y′=-y

…（8分）
代入x+y+4=0中得2ax-y+4=0，
∴2a=1，a=

1

2

；
（2）圓p=2、直線p（cosθ+

3

sinθ）=6化為直角坐標方程，
分別為x²+y²=4，x+

3

y-6=0
圓心到直線的距離為：

|-6|

1+3

=3
所以圓p=2上的點到直線p（cosθ+

3

sinθ）=6的距離的最小值是3-2=1
（3）x²+4y²=a參數方程是

x= a cosθ y= a 2 sinθ

，θ∈R
則x+y=

a

cosθ+

a

2

sinθ=

5a 4

sin(θ+∅)，
∴x+y的最大值為

5a 4

=5，解得a=20．

點評：考查矩陣變換，考查矩陣變換的運用，點到直線的距離公式，簡單曲線的極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查計算能力，是基礎題．