Question

（2010•昆明模擬）某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題，其中包括2個選擇題和1個填空題．競賽規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得-100分．假設這位同學每個選擇題回答正確的概率均為

4

5

，填空題回答正確的概率為

1

2

，且各題回答正確與否互不影響．
（I）求這名同學恰好回答正確2個問題的概率；
（II）求這名同學回答這3個問題的總得分ξ的概率分布和數學期望．

Answer 1

分析：（I）“記這名同學回答第1個選擇題正確的事件為A₁，回答第2個選擇題正確的事件為A₂，回答填空題正確的事件為A₃”則這名同學恰好回答正確2個問題事件為A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3．由此能求出結果．
（II）由題意知ξ的取值分別為-300，-100，100，300．分別求出對應的概率，由此ξ的概率分布和數學期望．

解答：解：（I）“記這名同學回答第1個選擇題正確的事件為A₁，
回答第2個選擇題正確的事件為A₂，
回答填空題正確的事件為A₃”
則這名同學恰好回答正確2個問題事件為：
A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3．
故P=P(A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3)，
=P(A1•A2•

.

A3

)+P(A1•

.

A2

•A3)+P(

.

A1

•A2•A3)
=

4

5

×

4

5

×

1

2

+

4

5

×

1

5

×

1

2

+

1

5

×

4

5

×

1

2

=

12

25

．…（6分）
（II）由題意知ξ的取值分別為-300，-100，100，300．
P（ξ=-300）=（1-

4

5

）•（1-

4

5

）•（1-

1

2

）=

1

50

，
P（ξ=-200）=（1-

4

5

）•（1-

4

5

）•

1

2

+（1-

4

5

）•

4

5

•（1-

1

2

）+

4

5

•（1-

4

5

）•（1-

1

2

）=

9

50

，
P（ξ=100）=

12

25

，
P（ξ=300）=

4

5

•

4

5

•

1

2

=

8

25

．
則ξ的概率分布為

ξ	-300	-100	100	300
P	1 50	9 50	12 25	8 25

故Eξ=-

300

50

-

900

50

+

2400

50

+

4800

50

=120…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的應用，解題時要認真審題，注意排列組合和概率知識的合理運用．