Question

已知直線(xiàn)L被兩平行直線(xiàn)L₁：2x-5y=-9與L₂：2x-5y-7=0所截線(xiàn)段AB的中點(diǎn)恰在直線(xiàn)x-4y-1=0上，已知圓C：（x+4）²+（y+1）²=25． 
（Ⅰ）求兩平行直線(xiàn)L₁與L₂的距離；
（Ⅱ）證明直線(xiàn)L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅲ）求直線(xiàn)L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩平行直線(xiàn)的距離公式可得兩平行直線(xiàn)L₁與L₂的距離；
（2）先求與兩平行直線(xiàn)L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線(xiàn)，再求出與x-4y-1=0的交點(diǎn)，從而可得直線(xiàn)L恒過(guò)定點(diǎn)P（-3，-1），進(jìn)而P（-3，-1）在圓C的內(nèi)部，從而可知直線(xiàn)L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）直線(xiàn)L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，CP⊥L，根據(jù)C（-4，-1），P（-3，-1），即可求得

解答：解：（1）根據(jù)兩平行直線(xiàn)的距離公式可得：d=

|9-(-7)|

4+25

=

16 29

29

（2）由題意，與兩平行直線(xiàn)L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線(xiàn)可設(shè)為2x-5y+c=0
則根據(jù)距離公式可得：|c-9|=|c+7|，∴c=1，
∴與兩平行直線(xiàn)L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線(xiàn)為2x-5y+1=0
∴AB的中點(diǎn)必在直線(xiàn)2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0，x-4y-1=0可知，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為P（-3，-1）
∴直線(xiàn)L恒過(guò)定點(diǎn)P（-3，-1）
∵（-3+4）²+（-1+1）²＜25．
∴P（-3，-1）在圓C的內(nèi)部
∴直線(xiàn)L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）直線(xiàn)L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，CP⊥L
∵C（-4，-1），P（-3，-1）
∴所求直線(xiàn)方程為x=-3

點(diǎn)評(píng)：本題以?xún)蓷l平行線(xiàn)為載體，考查兩平行線(xiàn)間的距離公式，考查兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，同時(shí)考查點(diǎn)與圓，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用兩平行線(xiàn)間的距離公式，合理轉(zhuǎn)化．