Question

已知F₁，F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，過F₁的直線l交C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8，C上的動點到焦點距離的最小值為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P是橢圓C上不與橢圓頂點重合的任意一點，點M是橢圓C上不與橢圓頂點重合且異于點P的任意一點，點M關于x軸的對稱點是點N，直線MP，NP分別交x軸于點E（x₁，0），點F（x₂，0），探究x₁•x₂是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABF₂的周長為8，C上的動點到焦點距離的最小值為1，可得

4a=8 a-c=1 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）設P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．可得

s2

4

+

t2

3

=1，

m2

4

+

n2

3

=1，變形為s2=

12-4t2

3

，m2=

12-4n2

3

．直線MP的方程為y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，解得x₁=

mt-sn

t-n

，同理得到x₂=

sn+mt

n+t

．即可證明x₁x₂為定值．

解答：解：（1）∵△ABF₂的周長為8，C上的動點到焦點距離的最小值為1，
∴

4a=8 a-c=1 a2=b2+c2

，解得

a=2c=2 b2=3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．
則

s2

4

+

t2

3

=1，

m2

4

+

n2

3

=1，
∴s2=

12-4t2

3

，m2=

12-4n2

3

．
直線MP的方程為y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，解得x₁=

mt-sn

t-n

，
同理得到x₂=

sn+mt

n+t

．
∴x₁x₂=

m2t2-s2n2

t2-n2

=

(4- 4n2 3 )t2-(4- 4t2 3 )n2

t2-n2

=

4(t2-n2)

t2-n2

=4．
故為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、點在橢圓上滿足橢圓的方程等基礎知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于難題．