Question

已知f（x）滿足f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=3，則

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

 

．

Answer 1

分析：由題設條件f（p+q）=f（p）•f（q），以及其變形得到

f(p+q)

f(p)

=f(q)，利用此兩式對

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

進行化簡，再利用f（1）=3求值

解答：解：由題意f（x）滿足f（p+q）=f（p）•f（q），故有

f(p+q)

f(p)

=f(q)
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

2f(2)

f(1)

+

2f(4)

f(3)

+

2f(6)

f(5)

+

2f(8)

f(7)

=2f（1）+2f（1）+2f（1）+2f（1）=8f（1）
又f（1）=3
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=8f（1）=8×3=24
故答案為  24

點評：本題考查函數中的恒成立問題，解題的關鍵是對恒等式的運用，根據題設條件對恒等式進行變形，得出規律，然后利用所得的規律對所給的代數式進行化簡求值，本題考查了分析推理的能力及轉化化歸的思想，本題較抽象，要充分挖掘所給的恒等式的作用，從盡可能多的角度研究問題，得出規律．