Question

（2013•濟南二模）已知點F₁(-

3

，0)和F₂(

3

，0)是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，且橢圓M經過點(

3

，

1

2

)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點P（0，2）的直線l和橢圓M交于A、B兩點，且

PB

=

3

5

PA

，求直線l的方程；
（3）過點P（0，2）的直線和橢圓M交于A、B兩點，點A關于y軸的對稱點C，求證：直線CB必過y軸上的定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用b²=a²-c²及點(

3

，

1

2

)滿足橢圓的方程即可得出．
（2）設出直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及向量相等即可求出；
（3）設過點P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及其對稱性得出直線BC的方程即可．

解答：解：（1）由條件得：c=

3

，設橢圓的方程

x2

a2

+

y2

a2-3

=1，
把(

3

，

1

2

)代入得

3

a2

+

1

4(a2-3)

=1，解得a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）斜率不存在時，

PB

=

1

3

PA

不適合條件；
設直線l的方程y=kx+2，點B（x₁，y₁），點A（x₂，y₂），
代入橢圓M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
因為

PB

=

3

5

PA

，即(x1，y1-2)=

3

5

(x2，y2-2)，所以x1=

3

5

x2．
代入上式得x2=-

10k

4k2+1

，x22=

20

4k2+1

，解得k=±1，
所以所求直線l的方程：y=±x+2．
（3）設過點P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，點B（x₁，y₁），點 A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直線AB方程代入橢圓M：

x2

4

+y2=1，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
設直線CB的方程為：y-y2=

y2-y1

-x2-x1

(x+x2)，
令x=0得：y=y2-

y2x2-x2y1

x1+x2

=

x2y1+x1y2

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

+2．
把x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

代入上式得：y=

2k 12 4k2+1

-16k 4k2+1

+2=-

3

2

+2=

1

2

．
所以直線CB必過y軸上的定點，且此定點坐標為(0，

1

2

)．
當直線斜率不存在時，也滿足過定點的條件．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為直線的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系、向量相等等基礎知識與方法；需要較強的推理能力和計算能力．