Question

已知向量，且m，n是方程f（x）=0的兩個實根，
（1）設g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值；
（2）若不等式在x∈[1，+∞）上恒成立，求實數b的取值范圍；
（3）對于（1）中的函數y=g（a），給定函數h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），若對任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有兩個實根，
所以△≥0，解得a∈[-1，3]
由題意
g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]
g′（a）=9a（a-2）=0，解得a=0或2
g（0）=g（3）=27，g（-1）=g（2）=15
所以最小值為15．
（2）若不等式在上恒成立，即恒成立，
解得b＞x（lnx-x²）
令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）
則h'（x）=1+lnx-3x²，x∈[1，+∞）
則h′′（x）=-6x，x∈[1，+∞）
∵h′′（x）=-6x＜0在[1，+∞）恒成立
∴h'（x）=1+lnx-3x²，在區間[1，+∞）為減函數
則h'（x）≤h'（1）=-2＜0恒成立
∴h（x）=x（lnx-x²）在區間[1，+∞）遞減
則h（x）≤h（1）=-1
故b＞-1
（3）由（1）得對任意的x₀∈[2，3]，g（x₀）∈[15，27]
由（2）得函數h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），在區間[1，2]單調遞增
則h（1）=-c≤h（x）≤h（2）=c（2ln2-8）
若對任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），
則-c≤15且c（2ln2-8）≥27
解得：-15≤c≤
分析：（1）根據f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有兩個實根，得到△≥0，解得a∈[-1，3]，又由題意從而g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]利用導數即可求得最小值為15．
（2）先將不等式在上恒成立，轉化為恒成立，即b＞x（lnx-x²），構造令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）可得h'（x）=1+lnx-3x²，h′′（x）=-6x，根據導函數符號與函數單調性的關系，及判斷出函數h（x）的單調性，進而得到答案．
（3）由（1）和（2）的結論，我們易求出函數y=g（a）在區間[2，3]上的值域，及函數h（x）=c（xlnx-x³）在[1，2]的上的值域，再結合對任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），構造關于c的不等式組，解不等式組即可得到答案．
點評：本小題主要考查函數恒成立問題、利用導數求閉區間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．屬于中檔題．