Question

如圖，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（Ⅰ）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)，求的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)記、的斜率分別為，．

（1）求證：為定值；　
（2）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足
，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

為定值．，軌跡方程為.

解：由已知得，顯然直線(xiàn)的斜率存在。設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則的方程為
，代入拋物線(xiàn)方程得
⑴ 若，令，此時(shí)的方程為
即或。若，方程有唯一解，此時(shí)的方程為．
綜上，所求直線(xiàn)的方程為：或或．
⑵ 顯然，記，則   
，  
①
∵ ∴ 即為定值．
②設(shè)動(dòng)點(diǎn)，∵，       ∴ 
        ∴
令且
∴    ∴ 
綜上，點(diǎn)的軌跡方程為.