Question

（2014•嘉定區一模）已知函數f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R．
（I ）求函數f（x）的周期和最小值；
（II）在銳角△ABC中，若f（A）=1，

.

AB

•

.

AC

=

2

，，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：將函數解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，后兩項提取

3

，利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小值正周期；由正弦函數的值域即可求出函數的最小值；
（II）由第一問確定的函數解析式及f（A）=1，得到關系式，根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再利用平面向量的數量積運算法則化簡而

AB

•

AC

=

2

，得到|

AB

|•|

AC

|的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+

3

（2cos²x-1）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-2≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴f（x）的最小值為-2；
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴2A+

π

3

=

5π

6

，即A=

π

4

，
而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=

2

，
∴|

AB

|•|

AC

|=2，
則S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|sinA=

2

2

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的定義域與值域，平面向量的數量積運算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．