Question

設函數.
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;
(Ⅲ)關于的方程在上恰有兩個相異實根,求的取值范圍.

Answer 1

遞增區間是;遞減區間是 ;;

( I)函數定義域為.                            .                            
由得或;
由得或.
因此遞增區間是;
遞減區間是.                                        
(Ⅱ)由(1)知,在上遞減,在上遞增.                 
又且,
所以時,.                            
故時,不等式恒成立.                              
(Ⅲ)方程即.
記,則.              由得或;
由得.
所以在上遞減,在上遞增.                               
為使在上恰好有兩個相異的實根,只須在和上各有一個實根,于是有,解得            
故實數的取值范圍是.