Question

對某校高二年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖（如圖）：

分組	頻數	頻率
[10，15）	10	n
[15，20）	26	0.65
[20，25）	3	p
[25，30）	m	0.025
合計	M	1

（Ⅰ）請寫出表中M，m，n，p及圖中a的值；
（Ⅱ）請根據頻率分布直方圖估計這M名學生參加社區服務的平均次數；
（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求恰有一人參加社區服務次數落在區間M內的概率．

Answer 1

分析：（I）利用[15，20）內的頻數是26，頻率是0.65，求出樣本的容量，再利用頻數之和為樣本容量，頻率之和為1，求m、n、p；
（II）求各個小矩形的底邊中點的橫坐標乘以對應小矩形的面積之和，可得平均數；
（III）求出參加社區服務次數不少于20次的學生數，寫出任選2人的所有基本事件，找出恰有一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的基本事件，代入概率公式計算．

解答：解：（Ⅰ）由分組[15，20）內的頻數是26，頻率是0.65知，

26

M

=0.65，所以M=40
因為頻數之和為40，所以10+26+3+m=40，m=1，n=

10

40

=0.25，p=

3

M

=

3

40

=0.075，
因為a是對應分組[15，20）的頻率與組距的商，所以a=

0.65

5

=0.13；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得分組[10，15）內的頻率為0.25，分組[15，20）內的頻率為0.65，分組[20，25）內的頻率為0.075，分組[25，30）內的頻率為0.025M名學生參加社區服務的平均次數為12.5×0.25+17.5×065+22.5×0075+
275×0025=3.125+11.375+1.6875+0.6875=16.875≈17
所以估計M名學生參加社區服務的平均次數為17；
（Ⅲ）這個樣本中，參加社區服務次數不少于20次的學生共有m+1=4人
設在區間[20，25）內的人為a₁，a₂，a₃，在區間[25，30）內的人為b，
則任選2人共6種情況：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），
恰有一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的情況共有3種：（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b）
所以，恰有一人參加社區服務次數在區間M內的概率為p=

3

6

=

1

2

．

點評：本題考查了由頻率分布直方圖求平均數，考查了古典概型的概率計算，考查了學生的讀圖努力與數據處理能力，讀懂頻率分布表是關鍵．