Question

設函數f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的導函數，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m實數的取值范圍；
（3）試證明：對任意正數a和正整數n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

分析：（1）牽扯出函數的定義域，求出導函數，判斷出導函數在定義域上大于0恒成立，得到函數在定義域上單調遞增．
（2）先將問題轉化為“f′（x）最大值≤g′（x）的最小值”，利用導函數求出f′（x）的最大值，再利用導數
求g′（x）的最小值需度m的范圍分類討論，求出最小值，列出不等式，求出m的范圍．
（3）求出各個導數值，用分析法將要證的不等式化簡，利用數學歸納法分三步得證．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）
f′（x）=2x+

2

x

∴f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立
故f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．
（2）據題意，問題轉化為f′（x）最大值≤g′（x）的最小值
令∅（x）=f′（x）
∵∅′(x)=2-

2

x2

=

2(x+1)(x-1)

x2

當x∈ [

1

3

，1]時，∅′（x）＜0
∴∅(x)在 [

1

3

，1]為減函數
∴∅（x）在[

1

3

，1]的最大值為∅(

1

3

)=

20

3

∵g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)=(x2-

m2

12

)(2x+

2

x

)=2x3+(2-

m2

6

)x-

m2

6x

∴g′(x)=6x2+

m2

6x2

+2-

m2

6

令t=6x²則h（t）=t+

m2

t

+2-

m2

6

由x∈ [

1

3

，1]知t∈[

2

3

，6]轉化為求函數h（t）=t+

m2

t

+2-

m2

6

在[

2

3

，6]上最小值
又h(t)=t+

m2

t

+2-

m2

6

≥2m+2-

m2

6

（當且僅當t=m時取等號）
①若

2

3

≤m≤6時，g′（x）的最小值為h（m）=2m+2-

m2

6

此時由f′（x）最大值≤g′（x）的最小值得2m+2-

m2

6

≥

20

3

解得6-2

2

≤m≤6+2

2

∴6-2

2

≤m≤6
②若m＞6時，函數y=h（t）在[

2

3

，6]上為減函數
即g′（x）的最小值為h（6）6+

m2

6

+2-

m2

6

=8由題意有8＞

20

3

恒成立
∴m＞6
③若m＜

2

3

時，函數y=h（t）在[

2

3

，6]為增函數，則g′（x）的最小值為h(

2

3

)=

8

3

+

4

3

m2
因此，必須

8

3

+

4

3

m2≥

20

3

此時無解
綜上所述，m實數的取值范圍[6-6

2

，+∞)
（III）問題即證2n(a+

1

a

)n-2n-1×2(an+

1

an

)≥2n(2n-2)
即證(a+

1

a

)n-(an+

1

an

)≥2n-2
下面用數學歸納法證明
當n=1時，左邊=0，右邊=0不等式成立
假設n=k（k≥1）時成立即(a+

1

a

)k-(ak+

1

ak

)≥2k-2
則當n=k+1時，(a+

1

a

)k+1-(ak+1+

1

ak+1

)= (a+

1

a

)k(a+

1

a

)-(ak+1+

1

ak+1

)≥（2^k-2）×2+2=2^k+1-2
即當n=k+1時原不等式成立

點評：求不等式恒成立問題的一般思路是分離參數，構造新函數，求函數的最值，有時也直接將問題轉化為求兩個函數的最值；求函數的最值常利用導數研究函數的單調性求出，但若函數中有參數，一般要注意討論．