Question

若對于正整數k、g（k）表示k的最大奇數因數，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），設Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n；
（III）設bn=

1

Sn-1

，求證數列{b_n}的前n頂和Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由對于正整數k、g（k）表示k的最大奇數因數，g（2m）=g（m）（m∈N^*），S₁=g（1）+g（2），S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4），S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8），能求出S₁，S₂，S₃．
（Ⅱ）由g（2m）=g（m），n∈N₊，知Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]，得Sn-Sn-1=4n-1，由此能求出S_n．
（Ⅲ）由bn=

1

Sn-1

=

3

4n-1

=

3

(2n)2-1

=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，用裂項求和法能證明數列{b_n}的前n頂和Tn＜

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊…（4分）
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]…（5分）
=

(1+2n-1)•2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]…（6分）
=4^n-1+S_n-1…（7分）
則Sn-Sn-1=4n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁…（8分）
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(4n-1-1)

4-1

+2=

1

3

•4n+

2

3

…（9分）
（Ⅲ）bn=

1

Sn-1

=

3

4n-1

=

3

(2n)2-1

=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（10分）Tn=

3

2

(

1

21-1

-

1

2+1

)+

3

2

(

1

22-1

-

1

22+1

)+

3

2

(

1

23-1

-

1

23+1

)+…+

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

3

2

[1-

1

2+1

+

1

22-1

-

1

22+1

+

1

23-1

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1+1

+

1

2n-1

-

1

2n+1

]
=

3

2

[1-(

1

3

-

1

3

)-(

1

22+1

-

1

23-1

)-…-(

1

2n-1+1

-

1

2n-1

)-

1

2n+1

]…（11分）
∴當n=1時，T1=b1=1＜

3

2

成立  …（12分）
當n≥2時，

1

2n-1+1

-

1

2n-1

=

2n-1-2n-1-1

(2n-1+1)(2n-1)

=

2n-1-2

(2n-1+1)(2n-1)

≥0…（13分）
∴Tn=

3

2

[1-(

1

2+1

-

1

22-1

)-(

1

22+1

-

1

23-1

)-…(

1

2n-1+1

-

1

2n-1

)-

1

2n+1

＜

3

2

•1=

3

2

，
∴Tn＜

3

2

．…（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．