Question

已知程序框圖如圖所示，將輸出的a的值依次記為a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，
請回答下列問題：
（Ⅰ）將空格

①

處填上適當的整數，該整數是多少？
（Ⅱ）寫出a_n與n的關系式；
（III）設bn=

n

2

an，求{b_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為框圖將輸出的a的值依次記為a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，再根據判斷框中的條件滿足時結束循環，所以判斷框內的條件應是n＞2012；
（Ⅱ）由執行框中的運算表達式知，輸出的數列是以2為首項，以3為公比的等比數列；
（Ⅲ）把數列{a_n}的通項代入表達式后，運用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）因為n賦值為1時輸出的a=2即a₁，該數列共有2012項，所以n＞2012時算法結束，共輸出2012項；
（Ⅱ）由執行框中的算式看出，該數列是以2為首項，以3為公比的等比數列，所以an=2•3n-1(n≤2012)；
（Ⅲ）由bn=

n

2

an=

n

2

•2•3n-1=n•3n-1
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1①
所以3Sn=3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n②
①-②得 -2Sn=(30+31+32+…+3n-1)-n×3n
整理得：Sn=

1-3n

4

+

n•3n

2

n∈N^*．且n≤2012．

點評：本題考查了循環結構，訓練了錯位相減的求和方法，求一個等差數列和一個等比數列的積數列的前n項和，往往是用錯位相減法．