Question

已知f(x)=

2x+1

2x+1-a

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（3）若關于x的方程k•f（x）=2^x在（0，1]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的定義可得f（x）=-f（-x），即f（x）+f（-x）=0，合理變形可求a；
（2）設任意的0＜x₁＜x₂，通過作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關系，根據單調性的定義可作出判斷；
（3）方程k•f（x）=2^x可化為：2（2^x）²-（k+2）•2^x-k=0，令2^x=t∈（1，2]，則可分離出參數k，進而轉化為函數的值域問題，借助“對勾”函數的單調性可求得函數值域；

解答：解：（1）∵f(x)=

2x+1

2x+1-a

是奇函數，
∴對定義域內的x，都有f（x）=-f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
則

2x+1

2x+1-a

+

2-x+1

2-x+1-a

=

(2-a)(2x+1+22x+1)

(2x+1-a)(2-a•2x)

=0，
∴a=2．
（2）f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．
對任意的0＜x₁＜x₂、
f(x1)-f(x2)=

2x1+1

2x1+1-2

-

2x2+1

2x2+1-2

=

2x1-2x2

(2x1+1-2)(2x2+1-2)

＞0，
故f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上的單調遞減；
（3）方程k•f（x）=2^x可化為：2（2^x）²-（k+2）•2^x-k=0，
令2^x=t∈（1，2]，
于是2t²-（k+2）t-k=0，
則k=

2t2-2t

t+1

=2(t+1)+

4

t+1

-6，
又2(t+1)+

4

t+1

-6在（1，2]上單調遞增，
∴2(t+1)+

4

t+1

-6的值域為(0，

4

3

]，
故0＜k≤

4

3

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的綜合應用、方程根的分布問題，考查轉化思想、函數思想，考查學生解決問題的能力．