Question

已知f(x)=

3

sinx+cosx，x∈[

π

3

，

2π

3

]，則f（x）的最大值為

2

．

Answer 1

分析：將函數解析式提取2，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的值域，進而得出f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值．

解答：解：f（x）=

3

sinx+cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=2sin（x+

π

6

），
∵x∈[

π

3

，

2π

3

]，∴x+

π

6

∈[

π

2

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1，1≤2sin（x+

π

6

）≤2，即1≤f（x）≤2，
則f（x）的最大值為2．
故答案為：2

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．