Question

理科（本小題14分）已知函數，當時，函數取得極大值.

（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數,都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）

當時，，單調遞增，；

當時，，單調遞減，；（Ⅲ）用數學歸納法證明.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.

當時，，函數在區間上單調遞增；

當時，，函數在區間上單調遞減.

函數在處取得極大值，故.   3分

（Ⅱ）令，  4分

則.函數在上可導，存在，使得.

又

當時，，單調遞增，；

當時，，單調遞減，；

故對任意，都有.   8分

（Ⅲ）用數學歸納法證明.

①當時，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當時，結論成立.   9分

②假設當時結論成立，即當時，

. 當時，設正數滿足令，

 

則，且.

13分

當時，結論也成立.

綜上由①②，對任意，，結論恒成立.   14分

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值及不等式的證明，數學歸納法。

點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，是導數的應用中的基本問題。本題（III）應用數學歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。