Question

若函數y=mx²+（1-m²）x+2013是偶函數，且是[2，5]上為增函數，則m=

1

．

Answer 1

分析：根據函數y=mx²+（1-m²）x+2013f（x）是偶函數的性質，可得f（x）-f（-x）=0對?x∈R恒成立，從而得1-m²=0，再驗證函數是否在[2，5]上單調遞增來確定m的值．

解答：解：∵函數y=mx²+（1-m²）x+2013是偶函數，∴f（x）=f（-x）對?x∈R恒成立，即f（x）-f（-x）=2（1-m²）x=0對?x∈R恒成立，
∴1-m²=0，即m=±1，
∵m=-1時，函數圖象開口向下，偶函數圖象關于y軸對稱，∴在[0，+∞）上單調遞減，
當m=1時，函數圖象開口向上，偶函數圖象關于y軸對稱，∴在[0，+∞）上單調遞增，
∵函數是[2，5]上為增函數，∴m≠-1，
故答案為 1．

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數的奇偶性與單調性．