Question

鄭（本題滿分14分）已知定點A(0，)( >0)，直線 ：交軸于點B，記過點A且與直線l₁相切的圓的圓心為點C．

(I)求動點C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)設傾斜角為的直線過點A，交軌跡E于兩點 P、Q，交直線于點R．

(1)若tan=1，且ΔPQB的面積為，求的值；

(2)若∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l₁，垂足為D，由已知可得|CA|=|CD|，

     ∴點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，

     ∴軌跡E的方程為x²=4ay  …………………(4分)

 (Ⅱ)直線l₂的方程為y=kx+a，與拋物線方程聯立消去y得                   

x²-4akx-4a²=0．

記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則x₁+x₂=4ak，x₁x₂a²<0.      …………(6分)

(1)若tanα=1,即k=1,此時x₁+x₂=4a , x₁x₂=-4a².

∴S_ΔBPQ=S_ΔABP+S_ΔABQ=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|

=a=a=a=4a² .  …………(8分)

∴4a²=，注意到a>0,∴a =                ………………………………(9分)

(2) 因為直線PA的斜率k≠O，易得點R的坐標為(,-a).             ……(10分)

|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+a）·（x₂+，y₂+a）

              =（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 a）（kx₂+ 2a）

    =(1+k²) x₁ x₂+(+2 ak)( x₁+x₂)+ +4a²

   = -4a²(1+k²)+4ak(+2ak)++4a²  =4a²(k²+)+8a²≥8a²+8a²=16a²

又α∈[,],∴k∈[,1],

當且僅當k²=, 即k=1時取到等號．                  ……………………(12分)

從而|PR|·|QR|的最小值為16a².                        ……………………(14分)