Question

（2012•湖南模擬）已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意的正數x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數列{a_n}的前n項和為s_n，且滿足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，則a_n為   （　　）

• A．2^n-1
• B．n
• C．2n-1
• D．(

  3

  2

  )n-1

Answer 1

分析：根據已知中對任意的正數x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且數列{a_n}滿足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，可得數列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數列，進而得到數列的通項公式．

解答：解：∵對任意的正數x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
∴s_n+2=3a_n…①
當n=1時，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當n≥2時，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

∴數列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數列
∴a_n=(

3

2

)n-1
故選D

點評：本題以抽象函數為載體考查了等比數列通項公式的求法，其中根據已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的關鍵．