Question

（本題滿分15分）已知圓N：和拋物線C：，圓的切線與拋物線C交于不同的兩點A，B，

（1）當直線的斜率為1時，求線段AB的長；

（2）設點M和點N關于直線對稱，問是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：因為圓N：，

所以圓心N為（-2,0），半徑，              ………………… 1分

       設，，

      （1）當直線的斜率為1時，設的方程為即

          因為直線是圓N的切線，所以，解得或（舍）

         此時直線的方程為，                      ………………… 3分

由 消去得，

所以，，，                 ………………… 4分

所以弦長               …………………6分

（2）①設直線的方程為即（）

          因為直線是圓N的切線，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即且，            

，.                      ………………… 9分

因為點M和點N關于直線對稱，所以點M為

所以，，        

因為，所以+    …… 10分

將A，B在直線上代入化簡得

     ……… 11分

代入，得

 

化簡得      ………②           ………… 12分

①+②得

即，解得或 

       當時，代入①解得，滿足條件且，

             此時直線的方程為；

       當時，代入①整理得 ，無解.    …………… 13分

②   當直線的斜率不存在時，

因為直線是圓N的切線，所以的方程為，

則得，，

即

       由①得：

                        =

  當直線的斜率不存在時不成立.               ……………… 14分

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為     ……………… 15分

另解：

（2）設直線的方程為即（必存在）

          因為直線是圓N的切線，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即               ………………… 9分

，.                  ………………… 10分

因為點M和點N關于直線對稱，所以點M為

所以，，        

因為，所以+    …… 11分

將A，B在直線上代入化簡得

     ……… 12分

代入，得

化簡得      ………②          ………… 13分

①+②得

即，解得或 …… 14分

       當時，代入①解得，滿足條件；

       當時，代入①整理得 ，無解.

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為     ……………… 15分

 

【解析】略