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已知在一個60°的二面角α-l-β的棱上有兩個點A、B，AC、BD分別是在α、β內且垂直于AB的兩條線段，又知AB=2cm，AC=3cm，BD=4cm，求：
（1）CD的長；
（2）CD與AB所成的角．
分析：（1）由已知求出
CA
和
BD
所成角的大小，然后利用向量的加法運算得
CD
=
CA
+
AB
+
BD
，兩邊求模的平方運算后可得答案；
（2）直接由
CD
和
AB
的數量積運算求CD與AB所成的角．
解答：解：如圖，
（1）由已知CA⊥AB，AB⊥BD，且二面角α-l-β的大小為60°，
得＜
CA
，
BD
＞=180°-60°=120°
∴|
CD
|2=(
CA
+
AB
+
BD
)2
=|
CA
|2+|
AB
|2+|
BD
|2+2×3×4×cos120°
=32+22+42-2×3×4×
1
2
=17
∴|
CD
|=
17
；
（2）、∵
CD
•
AB
=(
CA
+
AB
+
BD
)•
AB
=|
AB
|2=4
∴cos＜
CD
，
AB
＞=
CD
•
AB
|
CD
|•|
AB
|
=
4
17
×2
=
2
17
17

∴＜
CD
，
AB
＞=arccos
2
17
17

即CD與AB所成的角為arccos
2
17
17
．
點評：本題是與二面角有關的空間幾何體，考查了利用空間向量求解空間距離和空間角的大小，解答的關鍵是把空間向量轉化為平面向量，利用平面向量的有關運算求解．是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•鎮江二模）如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON=60°，現要鋪設三條下水管道OA，OB，AB（其中A，B分別在OM，ON上），若下水管道的總長度為3km，設OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b關于a的函數表達式，并指出a的取值范圍；
（2）已知點P處有一個污水總管的接口，點P到OM的距離PH為
3
4
km，到點O的距離PO為
7
4
km，問下水管道AB能否經過污水總管的接口點P？若能，求出a的值，若不能，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學參加筆試，成績均介于60分到100分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分為4組：第1組[60，70），第2組[70，80），第3組[80，90），第4組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在85分（含85分）以上的同學有面試資格．
（Ⅰ）估計所有參加筆試的1000名同學中，有面試資格的人數；
（Ⅱ）已知某中學有甲、乙兩位同學取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時，要求每人回答兩個問題，假設甲、乙兩人對每一個問題答對的概率均為
12
；若甲答對題的個數不少于乙，則甲比乙優先獲得高考加分資格．求甲比乙優先獲得高考加分資格的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年豐臺區二模文）（14分）

        如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△AED繞邊DE旋轉過程中的一個圖形。

   （I）求證點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；

   （II）當二面角A′―DE―A為60°時，求三棱錐A′―FED的體積。

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