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已知函數,.
(1)討論在內和在內的零點情況.
(2)設是在內的一個零點,求在上的最值.
(3)證明對恒有.
(1)在內有唯一零點;在內無零點.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)詳見解析.

試題分析：(1)首先求導確定在、內的單調性，然后根據零點判定定理確定的零點情況； (2)求導得，所以 在有最大值,又是在內的一個零點，所以在的最大值為.再由(1)的結論知在的最小值應為.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知時,有,即
 ，得，再將左右兩邊放縮相加即得.
(1)在有唯一零點,易知在單增而在
內單減,且,故在和內都至多有一個零點.
又,
故在內有唯一零點;
再由知在內無零點.
(2)由(1)知在有最大值,
故在有最大值;
再由(1)的結論知在的最小值應為.
由知,于是在的最小值.
(3)由(2)知時,有,即
                      ①
取,則且,將的值代入①中,可得

             ②
再由,得
                ③
相仿地,時,,故
            ④
而時④即,顯然也成立.故原不等式成立.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知f(x)=ex-t(x+1).
（1）若f(x)≥0對一切正實數x恒成立，求t的取值范圍；
（2）設，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y=g(x)上任意兩點，若對任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）求證：(n∈N*).

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)＝x2－1與函數g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(1,0)處有公共的切線，求實數a的值；
(2)設F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數F(x)的極值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（14分）（2011•天津）已知函數f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數，其中且.
（1）討論的單調性；
(2) 若不等式恒成立，求實數取值范圍；
（3）若方程存在兩個異號實根，，求證：

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設L為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．
(1)求L的方程；
(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設是函數的導函數，將和的圖像畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是(　　)

A．           B．              C．              D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

（2011•湖北）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變．假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位：年）滿足函數關系：M（t）=M0，其中M0為t=0時銫137的含量．已知t=30時，銫137含量的變化率是﹣10In2（太貝克/年），則M（60）=（　　）
A．5太貝克B．75In2太貝克C．150In2太貝克D．150太貝克

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數，則=     （     ）
A．1B．2C．3D．4

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