Question

在平面內(nèi)，不等式確定的平面區(qū)域為，不等式組確定的平面區(qū)域為.
（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”．在區(qū)域任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域的概率；
（2）在區(qū)域每次任取個點，連續(xù)取次，得到個點，記這個點在區(qū)域的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）
（2）的分布列為

	0	1	2	3

 
的數(shù)學(xué)期望為.

解析試題分析：（1）作出平面區(qū)域和平面區(qū)域，打出網(wǎng)格，找出整點，數(shù)出在區(qū)域中整點的個數(shù)及這些點落在區(qū)域中的個數(shù)，運用排列組合知識和古典概型公式求出所求事件的概率；（2）由獨立重復(fù)試驗的概念知，每次在區(qū)域中取一點該點落在區(qū)域內(nèi)的概率為定值，取3次，的3個點，落在區(qū)域內(nèi)點的個數(shù)服從二項分布，根據(jù)二項分布的概率公式和期望公式即可求出分布列與期望.
試題解析：（1）依題可知平面區(qū)域的整點為：共有13個，上述整點在平面區(qū)域的為：共有3個，
∴．                         （4分）
（2）依題可得，平面區(qū)域的面積為，
平面區(qū)域與平面區(qū)域相交部分的面積為.
（設(shè)扇形區(qū)域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.
在區(qū)域任取1個點，則該點在區(qū)域的概率為，隨機變量的可能取值為：.
，，
，，
∴的分布列為

	0	1	2	3

 
∴的數(shù)學(xué)期望：.     （12分）
（或者：～，故）.
考點：二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，古典概型，二項分布