Question

已知公差大于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
（1）求通項a_n；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=

Sn

n+c

，是否存在非零實數c，使得{b_n}為等差數列？若存在，求出c的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質，得出a₃、a₄是方程x²-22x+117=0的解，解此方程得a₃=9且a₄=13，再求出{a_n}的首項和公差，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）的結論，化簡得b_n=

2n2-n

n+c

．分別令n=1、2、3，得到{b_n}的前3項，由2b₂=b₁+b₃解出c=-

1

2

，再將c=-

1

2

回代加以檢驗，即可得到當c=-

1

2

時，{b_n}成以2為首項、公差為2的等差數列．

解答：解：（1）由等差數列的性質，得a₃+a₄=a₂+a₅=22，
又∵a₃•a₄=117，∴a₃、a₄是方程x²-22x+117=0的解，
結合公差大于零，解得a₃=9，a₄=13，
∴公差d=a₄-a₃=13-9=4，首項a₁=a₃-2d=1．
因此，數列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）由（1）知：S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，
所以b_n=

S n

n+c

=

2n2-n

n+c

．
故b₁=

1

c+1

，b₂=

6

c+2

，b₃=

15

c+3

．
令2b₂=b₁+b₃，即

12

c+2

=

1

c+1

+

15

c+3

，化簡得2c²+c=0．
因為c≠0，故c=-

1

2

，此時b_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n．
當n≥2時，b_n-b_n-1=2n-2（n-1）=2，符合等差數列的定義
∴c=-

1

2

時，b_n=2n．（n∈N₊）
由此可得，當c=-

1

2

時，{b_n}成以2為首項、公差為2的等差數列．

點評：本題給出等差數列滿足的條件，求數列{a_n}的通項公式，并依此討論數列{b_n}能否成等差的問題．著重考查了等差數列的通項公式、求和公式和方程組的解法等知識，屬于中檔題．