Question

已知圓的方程為:，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為．

（1）若，求點的坐標；
（2）若點的坐標為，過點的直線與圓交于兩點，當時，求直線的方程；
（3）求證：經過(其中點為圓的圓心)三點的圓必經過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）該圓必經過定點和.

試題分析：（1）由題中條件，在直角三角形中計算出，設點，然后將坐標化，求解關于的方程，最后寫出點的坐標即可；（2）先由弦長計算出圓心到直線的距離，設的方程為，最后由點到直線的距離公式即可求出的取值，進而寫出直線的方程即可；（3）設，過點的圓即是以為直徑的圓，從而得到該圓的方程，根據其方程是關于的恒等式，列出方程組，求解可得，得到經過三點的圓必過定點的坐標.
試題解析：（1）由條件可得，設，則，解得或，所以點或點
（2）由已知圓心到直線的距離為，設直線的方程為，則，解得或
所以直線的方程為或
（3）設，過點的圓即是以為直徑的圓，其方程為：
，整理得
即
由得或，該圓必經過定點和.