Question

如圖△ABC內接于⊙O，且AB=AC，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D．
（I）求證：AC²=AP•AD；
（II）若∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點，求AD的長．

Answer 1

（I）證明：連接BP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠APB，
∴△ABP∽△ABD
∴即AB²=AP•AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AP•AD
（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P為為弧AC的中點，
∴∠ABP=∠PAC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圓的直徑，
∴BP=2，
∴AP=BP=1，
在直角三角形PAB中，AB²=BP²-AP²=3，
∴AD=
分析：（I）根據三角形中兩條邊相等，得到對應的兩個底角相等，證明兩個三角形相似，相似三角形對應邊成比例，得到比例式，通過等量代換得到要求的等式．
（II）根據有一個頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形，得到∠BAC=60°，從而得到∠BAP=90°，即BP是圓的直徑，在直角三角形中利用勾股定理得到結果．
點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查三角形相似和全等的判斷和性質的應用，本題是一個綜合題目，解題時注意題目所給的條件比較繁瑣，不要用錯條件．