Question

已知二次方程x²+ax+2=0．
（1）若方程的兩根α、β滿足α＜2＜β，求實數a的取值范圍；
（2）若兩根都小于-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x²+ax+2，則函數圖象是開口方向朝上的拋物線，若二次方程x²+ax+2=0兩根α、β滿足α＜2＜β，則易得f（2）＜0由此可構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數a的取值范圍；
（2）若二次方程x²+ax+2=0兩根都小于-1，則需要滿足三個條件①方程有兩個根，即△≥0；②對稱軸在-1左側，即-

a

2

＜-1；③f（-1）＞0，由此可以構造出一個關于a的不等式組，解不等式組即可求出滿足條件的實數a的取值范圍；

解答：解：（1）令f（x）=x²+ax+2．
∵α＜2＜β，
由方程實根分布，當且僅當f（2）＜0．
∴6+2a＜0，
∴a＜-3．
（2）易知函數即f（x）的圖象與x軸的交點在（-1，0）左側，
當且僅當

△=a2-8≥0 - a 2 ＜1              ? f(-1)=3-a＞0

2

2

≤a＜3．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數的關系，利用方程與對應函數的關系，將求方程問題轉化為函數問題是解答本題的關鍵．