Question

已知函數（）．
（1）求的單調區間；
（2）如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值；
（3）討論關于的方程的實根情況．

Answer 1

（1）單調遞增區間為 _，單調遞減區間為；（2）的最小值為；（3）時，方程有兩個實根，當時，方程有一個實根，當時，方程無實根．

試題分析：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查函數思想，分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先求導數，令導數等于0，得到方程的根，則為增函數，為減函數，本問要注意函數的定義域；第二問，先利用導數求出切線的斜率，得到恒成立的表達式，將其轉化為對恒成立，所以關鍵就是求，配方法求最大值即可；第三問，先將原方程化為，設，看函數圖像與x軸的交點，對求導，判斷函數的單調性，求出函數的最大值，討論最大值的三種情況來決定方程根的情況.
試題解析：(Ⅰ) ，定義域為，
則．
因為，由得， 由得，
所以的單調遞增區間為 _，單調遞減區間為．   .3分
(Ⅱ)由題意，以為切點的切線的斜率滿足
 ，
所以對恒成立．
又當時， ，
所以的最小值為．        .6分
(Ⅲ)由題意，方程化簡得
令，則．
當時， ，
當時， ，
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為．
所以當，即時， 的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根，
當時，的圖象與軸恰有一個交點，
方程有一個實根，
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根．                12分