Question

汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表（單位：輛）；

	轎車A	轎車B	轎車C
舒適型	100	150	z
標準型	300	450	600

按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（Ⅲ）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本一均數之差的絕對值不超過0.5的概率．

Answer 1

（Ⅰ）設該廠這個月共生產轎車n輛，
由題意得

50

n

=

10

100+300

，
∴n=2000，
∴z=2000-（100+300）-150-450-600=400．

（Ⅱ）設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，
由題意，得a=2．
因此抽取的容量為5的樣本中，
有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．
用A₁，A₂表示2輛舒適型轎車，
用B₁，B₂，B₃表示3輛標準轎車，
用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，
則基本事件空間包含的基本事件有：
（A₁，A₂），（A₁B₁），（A₁B₂），
（A₁，B₃，），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，B₃），
（B₁B₂），（B₁，B₃，），（B₂，B₃），共10個，
事件E包含的基本事件有：
（A₁A₂），（A₁，B₁，），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），共7個，
故　P（E）=

7

10

，
即所求概率為

7

10

．
（Ⅲ）樣本平均數

.

x

=

1

8

（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．
設D表示事件“從樣本中任取一數，
該數與樣本平均數之差的絕對不超過0.5”，
則基本事件空間中有8個基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個，
∴P（D）=

6

8

=

3

4

，即所求概率為

3

4

．