Question

已知a∈R，函數f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．
（1）求a的值并求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x）；
（2）設h（x）=f′（x）+g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求a 值，先求導數，再結合f′（1）=1即得；欲求切線方程，只須求出其斜率的正負即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）欲求h（x）在[0，1]上的最大值與最小值，利用導數解決，研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值與最小值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax，由f'（1）=1得3-2a=1，所以a=1；
當a=1時，f（x）=x³-x²，f（1）=0，又f'（1）=1，
所以曲線y=f（x）y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-0=1×（x-1），即g（x）=x-1；
（2）由（1）得h(x)=3x2-x-1=3(x-

1

6

)2-

13

12

，
又h（0）=-1，h（1）=1，h(

1

6

)=-

13

12

，
∴h（x）在[0，1]上有最大值1，有最小值

13

12

．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．