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已知平面向量
a
=(sin(π-x))，
b
=(
3
，cosx)，函數f(x)=
a
•
b
．
（1）寫出函數f（x）的單調遞減區間；
（2）設g(x)=f(x-
π
6
)+1，求直線y=2與y=g（x）在閉區間[0，π]上的圖象的所有交點坐標．
分析：（1）求函數f（x）的單調遞減區間要先確定函數f（x）的解析式，根據解析式再求單調區間．
（2）由（1）中函數f（x）的解析式，不難給出函數g（x）的解析式，而兩個函數圖象的交點，即是求由兩個解析式聯立的方程組．
解答：解：（1）函數f(x)=
a
•
b
=
3
sin(π-x)+cosX=2sin(x+
π
6
)
∴函數的單調遞減區間為[2kπ+
π
3
，2kπ+
4π
3
]  (k∈Z)
（2）g（x）=f（x-
π
6
）+1=2sinx+1
解g（x）=2，即sinx=
1
2
，x∈[0，π]得：
x=
π
6
或x=
5π
6

所以交點坐標為：(
π
6
，2)，(
5π
6
，2)
點評：本題主要的考查點是正弦函數的單調性，解題的切入點是根據平面向量的數量積運算給出函數f（x）的解析式，而（2）中求函數圖象交點的坐標，則可轉化為解方程的問題進行求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求s=f（t）的函數關系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，試求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量
OM
的“相伴函數”f（x）在x=x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求s=f（t）的函數關系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，試求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：高考真題 題型：解答題

定義向量=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點），記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S。
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量的“相伴函數”f（x）在x=x0處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2012年上海市春季高考數學試卷（解析版） 題型：解答題

定義向量=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量的“相伴函數”f（x）在x=x處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x的取值范圍．

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