Question

函數y=

x2+5

x2+4

的最小值為多少？

Answer 1

分析：令

x2+4

=t，則t≥2，x²+4=t²．通過換元得到函數y=

x2+5

x2+4

=

t2+1

t

=t+

1

t

．再利用導數即可得出其單調性，進而得出最小值．

解答：解：令

x2+4

=t，則t≥2，x²+4=t²．
∴函數y=

x2+5

x2+4

=

t2+1

t

=t+

1

t

．
∴y′=1-

1

t2

=

t2-1

t

＞0，（t≥2）．
∴函數y=t+

1

t

在區間[2，+∞）是單調遞增．
∴當t=2時，函數y=t+

1

t

取得最小值2+

1

2

=

5

2

．
因此函數y=

x2+5

x2+4

的最小值為

5

2

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性及其最值是解題的關鍵．注意此題利用基本不等式的性質不好得出其最小值．