Question

 已知函數f(x)＝x³＋2bx²＋cx－2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y＝5x－10.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設函數g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數g(x)取得極值時對應的自變量x的值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1)由已知，得切點為(2,0)，故有f(2)＝0，

即4b＋c＋3＝0，①

f′(x)＝3＋4＋c，由已知，得f′(2)＝12＋8b＋c＝5.即8b＋c＋7＝0.②

聯立①、②，解得b＝－1，c＝1，

于是函數解析式為f(x)＝－2＋x－2.

(2)g(x)＝f(x)＋mx＝－2＋x－2＋mx，g′(x)＝3－4x＋1＋，令g′(x)＝0.

當函數有極值時，Δ≥0，方程3－4x＋1＋＝0有實根，

由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.

①當m＝1時，g′(x)＝0有實根x＝，在x＝左右兩側均有g′(x)>0，故函數g(x)無極值．

②當m<1時，g′(x)＝0有兩個實根，

＝(2－)，＝(2＋)，

當x變化時，g′(x)、g(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，)		(，)		(，＋∞)
g′(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)	?	極大值	?	極小值	?

故在m∈(－∞，1)時，函數g(x)有極值：

當x＝(2－)時，g(x)有極大值；

當x＝(2＋)時，g(x)有極小值．