Question

（B題）設函數f（x）=|x|x+bx+c，給出下列四個命題：
①當b=0，c＞0時方程f（x）=0有且只有一個實數根；
②當c=0時，y=f（x）是奇函數；
③?x∈R有f（-x）=2c-f（x）；
④方程f（x）=0至多有兩個實數根．
則上述命題中，所有正確命題的序號為

①②③

．

Answer 1

分析：分別根據條件，討論b，c的取值進行判斷．
①當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調增函數，方程f（x）=0只有一個實根．
②利用函數奇偶性的定義可判斷．③利用函數圖象關于點對稱的定義，可證得函數f（x）圖象關于點（0，c）對稱．
④舉出反例如c=0，b=-2，可以判斷．

解答：解：①b=0，c＞0時，得f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

，在R上為單調增函數，且值域為R，故方程f（x）=0，只有一個實數根，故①正確．
②當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx為奇函數，故②正確．
③∵f（-x）=-x|x|-bx+c，∴f（-x）+f（x）=2c，可得函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確．
④當c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了函數奇偶性、對稱性、單調性以及二次函數的圖象和性質．對函數奇偶性和單調性的充分理解，并用于二次函數當中，是解決本題的關鍵．