Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2，M為AD中點．

(Ⅰ) 證明；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

(Ⅰ).由已知為正三角形，；(Ⅱ) AB＝．

試題分析：(Ⅰ).由已知為正三角形，
(Ⅱ) 方法一：設AB＝x．取AF的中點G．由題意得DG⊥AF．
因為平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，
所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．過G作GH⊥BF，垂足為H，
連結DH，則DH⊥BF，
所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以GH＝．
在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．
因為cos∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．
方法二：設AB＝x．以F為原點，AF，FQ所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fxyz．
則F(0，0，0)，A(－2， 0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．
因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．
設＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因為cos<，>＝＝，
得x＝，所以AB＝．
方法三：以M為原點，MA， MF所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fxyz．略
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。本題利用向量簡化了證明過程。把證明問題轉化成向量的坐標運算，這種方法帶有方向性。