Question

.已知f（x）=e^x-ax-1．
（ I）若f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，求a的值；
（II）設g（x）=-x²+2x+2在（I）的條件下，求證g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

Answer 1

分析：（I）根據函數的解析式，求出函數的導函數，結合f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，可又構造關于a的不等式組，解不等式組可得答案．
（II）由（I）可得函數f（x）的解析式，及函數的最小值，結合二次函數的圖象和性質，分析g（x）的值域，可得答案．

解答：解：（ I）∵f（x）=e^x-ax-1
∴f′（x）=e^x-a，
而f（x）在（-∞，0]上單調遞減，
∴e^x-a≤0在x∈（-∞，0]上恒成立，有a≥e^x_max，
又當x∈（-∞，0]時，e^x∈（0，1]，得a≥1①
又f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴e^x-a≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，有a≤e^x_min，
又當x∈[0，+∞）時，e^x∈[1，+∞），得a≤1②
由①，②知a=1．
（ II）由（ I）可知f（0）是f（x）的最小值，有f（x）≥f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，g（x）=-（x-1）²-1≤-1
故f（x）＞g（x），即g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，二次函數的圖象和性質，其中根據已知中函數的單調性，結合函數單調性與導函數符號，列出關于a的不等式組是解答的關鍵．