Question

（本題14分）已知函數在處取得極值，且在處的切線的斜率為1。
（Ⅰ）求的值及的單調減區間；
（Ⅱ）設＞0，＞0，，求證：。

Answer 1

試題分析：解：（Ⅰ） 
，∴ ，即，∴
∴  ，又，∴ ，∴
綜上可知   
，定義域為＞0， 
由＜0 得 0＜＜，∴的單調減區間為……………6分
（Ⅱ）先證
即證
即證：
令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即證
令 則
∴
 
① 當＞，即0＜＜1時，＞0，即＞0
在（0，1）上遞增，∴＜＝0，
② 當＜，即＞1時，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上遞減，∴＜＝0，
③ 當＝，即＝1時，＝＝0
綜合①②③知即
即
又
∴  
綜上可得    ……………14分
點評：對于導數在研究函數中的運用，關鍵是利用導數的符號判定單調性，進而得到極值，和最值， 證明不等式。屬于中檔題。