Question

如圖已知拋物線：過點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點(diǎn)，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，△與△的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）p=1;（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/a/1xpzx2.png" style="vertical-align:middle;" />在拋物線C上，所以將點(diǎn)P坐標(biāo)代入方程，即可求得p=1．
（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程為y=kx+b．聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，有．由題意知，，
因?yàn)椤鱌AM與△PBN的面積相等，所以，即解得或．所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，即l過Q(0,0)或Q(2,2)時(shí)，滿足條件．.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/a/1xpzx2.png" style="vertical-align:middle;" />在拋物線C上，所以1=2p·，得p=1．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程為y=kx+b．
聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，有．
所以()()=(*)由題意知，，
因?yàn)椤鱌AM與△PBN的面積相等，所以，
即，
也即
根據(jù)(*)式，得()²=1，解得或．
所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，
即l過Q(0,0)或Q(2,2)時(shí)，滿足條件．
考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系.