Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，不等式≥0對一切實數恒成立.
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當∠C取最大值，且△ABC的周長為6時，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時△ABC的形狀.

Answer 1

（1）；（2）。

解析試題分析：（1） 需對分情況討論，cosC≠0時，則為一元二次不等式恒成立問題，則需；
（2）因為S_△ABC=，只需求的最大值，再由余弦定理的應用及基本不等式去求。
（1）當cosC=0時，sinC=1，原不等式即為4x+6≥0對一切實數x不恒成立.
當cosC≠0時，應有               
 ，解得（舍去）
∵C是△ABC的內角，  ∴ 
（2）∵0<C<π， 
∴∠C的最大值為， 此時，
∴≥，
∴≤4（當且僅當a=b時取“=”），  
∴S_△ABC=≤（當且僅當a=b時取“=”），
此時，△ABC面積的最大值為，△ABC為等邊三角形。
考點：（1）一元二次不等式的解法；（2）余弦定理的應用；（3）利用基本不等式求最值。